lunes, 1 de noviembre de 2010

MARCO TEORICO

Las Relaciones Metricas en el Triangulo Rectangulo son teoremas o propiedades, que son validas exclusivamente en el triangulo rectangulo y se aplican sobre las dimensiones de los catetos, hipotenusa, la altura relativa a la hipotenusa y los segmentos determinados sobre esta como proyecciones de los catetos de triangulo.





Dado el triangulo rectangulo ABC, con su angulo recto en C, donde:
c es la hipotenusa
b la altura relativa a la hipotenusa
p y q los segmentos determinados a la hipotenusa

TEOREMAS

Teorema de Pitagoras:

Filosofo y matematico Griego. 582 a.c.-507a.c. Este teorema lleva este nombre porque fue descubierto en la escuela pitagorica. Anteriormente, en Mesopotamia y en el Antiguo Egipto se conocia temas de valores que correspondian con los lados de un triangulo rectangulo, y se utilizaban para resolver problemas con dichos triangulos. La piramide de Kefren fue construida basandose en el triguangulo sagrado egipcio, de proporciones 3-4-5.

















Teorema de Euclides:


Matematico y geometra griego, 300 a.c.- 265 a.c. Se desprenden tres relaciones. Estas relaciones se aplican sobre las dimensiones de los catetos, la hipotenusa, la altura relativa a la hipotenusa y los segmentos determinados sobre esta como proyecciones de los catetos

PROPIEDADES

TEOREMA FUNDAMENTAL:

En el triángulo rectángulo CAB, se traza la altura relativa a la hipotenusa. Observamos que los triángulos rectángulos CAB y AHB son semejantes.
Establecemos la proporción entre sus lados correspondientes:


En cualquier triángulo rectángulo, el producto de las medidas de sus catetos es igual al producto de la medida de la hipotenusa por la medida de la altura relativa a la hipotenusa.



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Teorema referido a los catetos:

  • En los triángulos rectángulos semejantes CAB y AHB , analizamos la proporción:






  • En los triángulos rectángulos semejantes CAB y AHC, analizamos la proporción:








En cualquier triángulo rectángulo , el cuadrado de la medida de un cateto es igual al producto de la medida de la hipotenusa por la medida de la proyección ortogonal de ese cateto sobre la hipotenusa.

























  • BH es la proyección ortogonal del cateto AB sobre la hipotenusa. Su medida es m.


  • HC es la proyección ortogonal del cateto AC sobre la hipotenusa. Su medida es n.

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Teorema referido a la altura:

Los triángulos rectángulos AHB y AHC son semejantes :




  • Analizamos la proporción :
En cualquier triángulo rectángulo, el cuadrado de la medida de la altura relativa a la hipotenusa es igual al producto de las medidas de las proyecciones ortogonales de los catetos sobre la hipotenusa.


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Teorema de Pitágoras:



Observa el triángulo rectángulo CAB:




  • Por el Teorema referido a los catetos:


  • Sumamos miembro a miembro:


Factorizamos:


En cualquier triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la medida de la hipotenusa.

EJEMPLOS

Ejemplo 1:






En este ejemplo se aplica el teorema referido a los catetos :

EL CUADRADO DE LA MEDIDA DE UN CATETO ES IGUAL AL PRODUCTO DE LA MEDIDA DE LA HIPOTENUSA POR LA MEDIDA DE LA PROYECCIÓN ORTOGONAL DE ESE CATETO SOBRE LA HIPOTENUSA.

Ejemplo 2 :

En este ejemplo se utilizó el teorema de pitágoras:


En cualquier triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la medida de la hipotenusa





Ejemplo 3:





En este ejemplo se utilizó el teorema referido a la altura:

En cualquier triángulo rectángulo, el cuadrado de la medida de la altura relativa a la hipotenusa es igual al producto de las medidas de las proyecciones ortogonales de los catetos sobre la hipotenusa.






EJERCICIOS

Problema 1:

  • Juan y Pablo se encuentran a ambos lados de un río y quieren jalar una barca hacia ellos , pero antes quieren saber el ancho del río ,para poder medir su salto para llegar a la barca cuando la tengan.









  • Solución:








En este problema se utilizó el teorema fundamental de la semejanza de triángulos :




Problema 2: